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基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換
來(lái)源：本站 時(shí)間：2020-11-11 14:52:26 瀏覽：14569次

原胞是保持平移對(duì)稱性的最小單元，所以，在計(jì)算能帶、聲子色散時(shí)，研究對(duì)象是原胞（聲子的有限位移方法需要超胞，但是，這時(shí)的超胞是一個(gè)輔助系統(tǒng)，色散仍然是針對(duì)原胞畫(huà)的）。用比原胞更大的單元計(jì)算能帶會(huì)造成band folding現(xiàn)象，即能帶折疊，相當(dāng)于布里淵區(qū)變小了，布里淵區(qū)的形狀也可能發(fā)生了變化，從超胞到原胞的能帶可以通過(guò)(band unfolding)[https://www.ifm.liu.se/theomod/compphys/band-unfolding]還原到原胞的能帶。


文獻(xiàn)通常按照以下約定：晶胞是定義晶面、晶向、超胞的參照，而不是原胞或其他單元。

首先，定義一般的周期性單元CELL的變換。按照文獻(xiàn)[1]的約定，將（分?jǐn)?shù)）坐標(biāo)寫(xiě)為列矢量，基矢量基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-1也各為列矢量。點(diǎn)X在基矢基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-2（O為原點(diǎn)）下的坐標(biāo)基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-3

考慮晶格靜止不動(dòng)，選擇不同的基矢，即選取不同的CELL，同一個(gè)點(diǎn)X對(duì)新的基矢有坐標(biāo)基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-4。下面給出有撇號(hào)和無(wú)撇號(hào)的基矢選擇下基矢和坐標(biāo)的變換關(guān)系。

周期性單元CELL的變換是一種特殊的仿射變換（數(shù)學(xué)上一般的仿射變換形成的新單元并不保證具有晶格周期性），可以分解為線性部分和平移兩個(gè)部分。

線性部分包括基矢方向和長(zhǎng)度的改變，由一個(gè)矩陣P表示。

基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-5
知道了矩陣P和逆矩陣基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-6，就可以進(jìn)行CELL之間的變換，常見(jiàn)的晶胞轉(zhuǎn)換為原胞的變換矩陣由表2給出，反之交換P和Q得到。注意這里的矩陣選取并不是唯一的，這里選擇的原胞基矢的原點(diǎn)和晶胞基矢的原點(diǎn)是重合的，即沒(méi)有平移。

表2 常見(jiàn)單元變換矩陣

基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-7
對(duì)于菱方布拉伐格子，見(jiàn)注2的7種空間群，cif生成的是六方的晶胞，體積是菱方的3倍，原胞計(jì)算用（ibrav=5，同時(shí)定義celldm(1)和celldm(4)），用ibrav=0時(shí)也存著晶胞轉(zhuǎn)原胞的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換矩陣如下，參見(jiàn)注1 ：

基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-8
注1：注意晶胞和原胞的區(qū)別，對(duì)于非簡(jiǎn)單格子ibrav適合于設(shè)置原胞（對(duì)于簡(jiǎn)單格子ibrav≠0當(dāng)然也是設(shè)置了原胞），布拉伐格子中的7個(gè)簡(jiǎn)單格子本身就是原胞，而且，除了菱方外的6個(gè)簡(jiǎn)單格子，不僅是原胞，同時(shí)也是晶胞，菱方的布拉伐格子是原胞但不是晶胞，菱方的晶胞是六方的簡(jiǎn)單格子，體積是原胞的3倍，而底心、面心、體心的7個(gè)布拉伐格子本身是晶胞，存在體積更小的原胞。

注2：trigonal三方晶系有兩種布拉伐格子，一種是ibrav=5，菱方（rhombohedral）布拉伐格子，另一種是ibrav=4，六方（hexgonal）布拉伐格子，晶體屬于菱方還是六方要看具體的空間群，在hexgonal和trigonal晶系中，7個(gè)空間群：具有菱方布拉伐格子的原胞，其余的45個(gè)空間群具有六方布拉伐格子的原胞。這里的菱方和六方是指晶體的格點(diǎn)系統(tǒng)lattice system，而非晶系，格點(diǎn)系統(tǒng)是按照布拉伐格子分類的，晶系是按照晶體點(diǎn)群分類的。

周期性單元CELL的變換，還可以包含平移，平移用變換前的基矢定義為：基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-9。平移的逆變換基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-10

分?jǐn)?shù)坐標(biāo)的變換公式為：基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-11

將晶胞轉(zhuǎn)換為原胞，因?yàn)榫О驮械脑觽€(gè)數(shù)不同，坐標(biāo)變換后會(huì)有重復(fù)或相差一個(gè)原胞格子，需要將重復(fù)的刪去。反之，將原胞轉(zhuǎn)換為晶胞，需要將原胞格子重復(fù)足夠大以覆蓋晶胞，重復(fù)后的原子分別變換到新的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)，最后保留晶胞內(nèi)部的原子（分?jǐn)?shù)坐標(biāo)在0到1之間）。

以底心單斜碳的同素異形體為例[4]，用TransCell（https://github.com/yyyu200/SlabMaker）變換CELL和原子坐標(biāo)，并用VESTA驗(yàn)證。

先下載cif文件（https://yyyu200.github.io/DFTbook/img/A_mC16_12_4i.cif），用VESTA打開(kāi)，畫(huà)出晶胞如下：
基于Quantum Espresso的第一性原理計(jì)算建模教程（三）：晶胞和原胞的相互轉(zhuǎn)換-12

輸入轉(zhuǎn)換矩陣：

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得到原胞：

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原胞和晶胞的比較（見(jiàn)aflow：http://aflowlib.org/CrystalDatabase/A_mC16_12_4i.html）：
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